在数学学习过程中.通常是利用已有的知识与经验.通过对研究对象进行观察.实验.推理.抽象概括.发现数学规律.揭示研究对象的本质特征．比如“同底数幂的乘法法则的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律.由“特殊到“一般进行抽象概括的:22×23=25.23×24=27.22×26=28-⇒2m×2n=2m+n-⇒am� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．
比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：
2²×2³=2⁵，2³×2⁴=2⁷，2²×2⁶=2⁸…⇒2^m×2ⁿ=2^m+n…⇒a^m×aⁿ=a^m+n（m、n都是正整数）．
我们亦知：$\frac{2}{3}＜\frac{2+1}{3+1}$，$\frac{2}{3}＜\frac{2+2}{3+2}$，$\frac{2}{3}＜\frac{2+3}{3+3}$，$\frac{2}{3}＜\frac{2+4}{3+4}$…
（1）请你根据上面的材料，用字母a、b、c归纳出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之间的一个数学关系式．
（2）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”．

分析（1）根据已知不等式可找出规律，因为3＞2＞0，1＞0，2＞0，3＞0，$\frac{2}{3}＜\frac{2+1}{3+1}$，$\frac{2}{3}＜\frac{2+2}{3+2}$，$\frac{2}{3}＜\frac{2+3}{3+3}$，$\frac{2}{3}＜\frac{2+4}{3+4}$…故a＞b＞0，c＞0，则$\frac{b}{a}$＜$\frac{b+c}{a+c}$；
（2）因为$\frac{n}{m}$＜$\frac{n+k}{m+k}$，说明原来糖水中糖的质量分数$\frac{n}{m}$小于加入k克糖后糖水中糖的质量分数$\frac{n+k}{m+k}$，所以糖水更甜了．

解答（1）你根据上面的材料可得：$\frac{b}{a}$＜$\frac{b+c}{a+c}$．
说明：∵$\frac{b}{a}$-$\frac{b+c}{a+c}$=$\frac{b（a+c）}{a（a+c）}$-$\frac{a（b+c）}{a（a+c）}$=$\frac{ab+bc-ab-ac}{a（a+c）}$=$\frac{bc-ac}{a（a+c）}$=$\frac{c（b-a）}{a（a+c）}$，
又∵a＞b＞0，c＞0，
∴a+c＞0，b-a＜0，
∴$\frac{c（b-a）}{a（a+c）}$＜0，
∴$\frac{b}{a}$-$\frac{b+c}{a+c}$＜0，
即：$\frac{b}{a}$＜$\frac{b+c}{a+c}$成立；

（2）∵原来糖水中糖的质量分数=$\frac{n}{m}$，
加入k克糖后糖水中糖的质量分数+$\frac{n+k}{m+k}$，
由（1）$\frac{b}{a}$＜$\frac{b+c}{a+c}$可得$\frac{n}{m}$＜$\frac{n+k}{m+k}$，
所以糖水更甜了．

点评本题考查了分式的混合运算，读懂题目信息，熟练掌握并灵活运用整式的加减混合运算进行计算是解题的关键，也是本题的难点．