Question

4．关于x的一元二次方程x²-（2k-1）x+k²-2=0有两个不相等实数根α，β．
（1）求k的取值范围；
（2）当（a-1）（β-1）=3，时，求α²+α-2β-1的值．

Answer 1

分析 （1）由于关于x的一元二次方程x²-（2k-1）x+k²-2=0有两个不相等的实数根α、β，那么其判别式应该是一个正数，由此即可求出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可以得到α+β=2k-1，αβ=k²-2，（a-1）（β-1）=3，由此可以求出k的值，再把α²+α-2β-1变为-2（α+β），代入前面的值就可以求出结果．

解答 解：（1）∵方程x²-（2k-1）x+k²-2=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0即（2k-1）²-4×1×（k²-2）＞0
解得k＜$\frac{9}{4}$；
（2）由根与系数的关系得：α+β=2k-1，αβ=k²-2．
∵（a-1）（β-1）=αβ-（α+β）=3，
∴k²-2k-3=0
解得k=3或k=-1，
由（1）可知k=3不合题意，舍去．
∴k=-1，
原方程为x²+3x-1=0
∴α+β=-3，αβ=-1，α²=1-3α
∴α²+α-2β-1=1-3α+α-2β-1=-2（α+β）=6．

点评 此题考查根的判别式与根与系数的关系，首先利用一元二次方程的判别式求出k的取值范围，然后利用根与系数的关系求出k的值，接着把所求的代数式变形为两根之和与两根之积的形式，代入值就解决问题．