Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC，点D是AB的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合（与Rt△ABC在同一平面内），连接BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并对你的猜想说明理由．

Answer 1

分析 数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰直角三角形的性质，即可证得：△EBD≌△EAC即可证明．

解答 解：数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC．
∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAC=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDB=∠ADB-∠EDA=180°-45°=135°，
∴∠EAC=∠EDB，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=2AC，
∴BD=AD=AC，
∵在△EDB和△EAC中
 $\left\{\begin{array}{l}{DE=AE}\\{∠BDE=∠CAE}\\{BD=AC}\end{array}\right.$，
∴△EDB≌△EAC（SAS），
∴EB=EC，且∠BED=∠CEA，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠CEA+∠BED=90°，
∴BE⊥EC．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与应用，证明线段相等的问题一般的解决方法是转化为证明三角形全等．