Question

1．计算下列各式，然后解答后面的问题：
（1）（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}$-1）=1．（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=1；（$\sqrt{4}$+$\sqrt{3}$）（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）=1；（$\sqrt{5}$+$\sqrt{4}$）（$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$）=1，…
（2）观察上面的规律，计算下列式子的值
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1 $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$ $\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．
猜想：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$
根据上面规律计算：
（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2012}}$•（$\sqrt{2013}$+1）
（3）拓展应用，试比较$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$与$\sqrt{13}$-$\sqrt{12}$的大小．

Answer 1

分析 （1）原式利用平方差公式计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）两数利用得出的规律变形，比较即可．

解答 解：（1）（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}$-1）=2-1=1；（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=3-2=1；（$\sqrt{4}$+$\sqrt{3}$）（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）=4-3=1；（$\sqrt{5}$+$\sqrt{4}$）（$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$）=5-4=1；
（2）$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1；$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$；$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（3）$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$=$\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$，$\sqrt{13}$-$\sqrt{12}$=$\frac{1}{\sqrt{13}+\sqrt{12}}$，
∵$\sqrt{12}$+$\sqrt{11}$＜$\sqrt{13}$+$\sqrt{12}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$＞$\frac{1}{\sqrt{13}+\sqrt{12}}$，
则$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$＞$\sqrt{13}$-$\sqrt{12}$．
故答案为：（1）1；1；1；1；（2）$\sqrt{2}$-1；$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；2-$\sqrt{3}$；$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$

点评 此题考查了分母有理化，以及实数大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．