Question

12．如图，四边形ABCD是长方形．

（1）P为长方形内一点（如图a），求证：PA²+PC²=PB²+PD²；
（2）探索若点P在AD边上（如图b）时，结论是否仍然成立．若成立请证明，不成立请说明理由．
（3）探索若点P在长方形ABCD外（如图c）时，结论是否仍然成立．若成立请证明，不成立请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F，可证四边形ABFE和CDEF为矩形，则AE=BF，DE=CF，在△PAE，△PCF，△PBF，△PCF中，分别求PA²，PC²，PB²，PD²，再比较PA²+PC²与PB²+PD²即可；
（2）根据PB²-PA²=AB²=CD²=PC²-PD²，移项即可；
（3）画出图形，把问题转化到直角三角形中，由勾股定理分别求PA²，PC²，PB²，PD²．

解答 （1）证明：过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F，如图（a）所示：
则四边形ABFE和CDEF为矩形，
∴AE=BF，DE=CF，
由勾股定理得：
则AP²=AE²+PE²，PC²=PF²+CF²，
BP²=BF²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∴PA²+PC²=AE²+PE²+PF²+CF²，
PB²+PD²=BF²+PF²+DE²+PE²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．
（2）成立，理由如下：在Rt△ABP中，由勾股定理，得PB²-PA²=AB²，
同理可得PC²-PD²=CD²，
由矩形的性质可得AB=CD，
∴PB²-PA²=PC²-PD²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．
（2）成立
过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F，
则四边形ABFE和CDEF为矩形，
∴AE=BF，DE=CF，
由勾股定理得：
则AP²=AE²+PE²，PC²=PF²+CF²，
BP²=BF²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∴PA²+PC²=AE²+PE²+PF²+CF²，
PB²+PD²=BF²+PF²+DE²+PE²
∴PA²+PC²=PB²+PD²．
（3）成立．如图（c）所示，由勾股定理可证PA²+PC²=PB²+PD²．

点评 本题是四边形综合题目，考查了勾股定理及矩形的性质．关键是作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理分别表示边长的平方．