Question

17．已知AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD切⊙O于点D，CD=4，BC=2
（1）求⊙O的半径；
（2）若OE⊥AB交⊙O于点E，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据切割线定理得到AB=6，于是得到结论；
（2）连接OD，由切线的性质得到∠CDO=90°，根据三角函数的定义得到cos∠C=$\frac{CD}{CO}$=$\frac{4}{5}$，等量代换得到cos∠DOE=$\frac{4}{5}$，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵CD切⊙O于点D，
∴CD²=CB•CA，
即4²=2（AB+2），
解得AB=6，
∴⊙O的半径为3；
（2）连接OD，
∵CD切⊙O于点D，
∴∠CDO=90°，
∴cos∠C=$\frac{CD}{CO}$=$\frac{4}{5}$，
∵OE⊥AB，
∴∠DOE=∠C=90°-∠COD，
∴cos∠DOE=$\frac{4}{5}$，
过D作DF⊥OE于F，
∴$\frac{OF}{OD}=\frac{4}{5}$，
∴OF=$\frac{12}{5}$，
∴EF=$\frac{3}{5}$，∵DE²-EF²=OD²-OF²，
即DE²-（$\frac{3}{5}$）²=3²-（$\frac{12}{5}$）²，
∴DE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质切割线定理，解直角三角形，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．