Question

12．如图，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交 BC于点D，过D作DE⊥AC于E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若CD=2$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，分别求AB，OE的大小．

Answer 1

分析 （1）要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODE=90°即可．
（2）根据三角函数的定义，即可求得AB，再在Rt△CDE中，根据直角三角形的性质，可求得DE，再由勾股定理求出OE即可．

解答 解：（1）连接OD，则OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C．
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）连接AD，
∵AB为直径
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC∠ACB=30°
∴BD=DC∠B=∠ACB=30°，
∵CD=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ABD中，cos∠B=$\frac{BD}{AB}$，
∴AB=$\frac{BD}{cos∠B}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴OD=OB=$\frac{1}{2}$AB=2，
在Rt△CDE中，sin∠C=$\frac{DE}{DC}$，
∴DE=DCsin∠C=2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△ODE中，OE²=OD²+DE²=2²+（$\sqrt{3}$）²=7，
∴OE=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、圆周角定理以及解直角三角形，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．