Question

10．请观察下列式子，按要求完成下列题目．
$\frac{1}{{\sqrt{2}+1}}=\frac{{\sqrt{2}-1}}{{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}}=\sqrt{2}-1$；$\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；$\frac{1}{{2+\sqrt{3}}}=\frac{{2-\sqrt{3}}}{{（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}}=2-\sqrt{3}$；$\frac{1}{{\sqrt{5}+2}}=\frac{{\sqrt{5}-2}}{{（\sqrt{5}+2）（\sqrt{5}-2）}}=\sqrt{5}-2$．
试求：
（1）$\frac{1}{{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}$的值；
（2）$\frac{1}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$（n为正整数）的值；
（3）根据上面的规律，试化简下列式子．$\frac{1}{{\sqrt{2}+1}}$+$\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}$+$\frac{1}{{2+\sqrt{3}}}$+…+$\frac{1}{{\sqrt{2011}+\sqrt{2010}}}$．

Answer 1

分析 （1）分子、分母上下同乘$\sqrt{7}-\sqrt{6}$，即可解答；
（2）分子、分母上下同乘$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，即可解答；
（3）利用（2）的规律，即可解答．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{（\sqrt{7}+\sqrt{6}）（\sqrt{7}-\sqrt{6}）}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$．
（2）$\frac{1}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$．
（3）$\frac{1}{{\sqrt{2}+1}}$+$\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}$+$\frac{1}{{2+\sqrt{3}}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2011}+\sqrt{2010}}$
=$\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}+…+\sqrt{2011}$-$\sqrt{2010}$
=-1$+\sqrt{2011}$．

点评 本题考查分母有理化，解决本题的关键是根据分母有理化，发现规律．