Question

9．已知△ABC的两边之和为10，第三边上的高为3，其外接圆半径（　　）

• A． 有最大值$\frac{25}{6}$
• B． 有最小值$\frac{25}{6}$
• C． 有最大值5
• D． 有最小值5

Answer 1

分析 作直径，因为直径所对的圆周角为90°，构建了直角△ABE，证明△ADC∽△ABE，列比例式，设⊙O的半径为y，AC=x，则AB=10-x，代入比例式中，得y与x的函数关系式，求最值即可．

解答 解：如图，作直径AE，连接BE，则∠ABE=90°，
由已知得：AB+AC=10，AD⊥BC，且AD=3，
设⊙O的半径为y，AC=x，则AB=10-x，
∵∠ADC=∠ABE=90°，∠E=∠C，
∴△ADC∽△ABE，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{x}{2y}=\frac{3}{10-x}$，
∴y=-$\frac{1}{6}{x}^{2}$+$\frac{5}{3}$x，
∵-$\frac{1}{6}$＜0，
∴y有最大值，
y_最大值=$\frac{-（\frac{5}{3}）^{2}}{4×（-\frac{1}{6}）}$=$\frac{25}{6}$，
故选A．

点评 本题是三角形的外接圆，熟练掌握圆中有关的性质：①直径所对的圆周角为90°，②同弧或等弧所对的圆周角相等；与二次函数结合求外接圆半径的最值．