Question

11．观察下列等式：（1）3²-1²=8；（2）5²-3²=16；（3）7²-5²=24；（4）9²-7²=32；…
（1）11²-9²=40．
（2）写出第n个等式（n是正整数）：8n．
（3）说明你所写的等式的正确性．

Answer 1

分析 （1）通过观察可发现两个连续奇数的平方差是8的倍数，第n个等式为：（2n+1）²-（2n-1）²=8n，进而求出11²-9²的值；
（2）由（1）可得第n个等式为：（2n+1）²-（2n-1）²=8n；
（3）原式右边利用平方差公式化简，计算得到结果与左边相等，即可得证．

解答 （1）通过观察可发现两个连续奇数的平方差是8的倍数，
第n个等式为：（2n+1）²-（2n-1）²=8n；
∵2n-1=9，
解得n=5，
∴11²-9²=8n=5×8=40．

（2）由（1）得：第n个等式为：（2n+1）²-（2n-1）²=8n；

（3）左边=（2n+1+2-1）（2n+1-2n+1）
=4n×2
=8n=右边，
故所写等式正确．

点评 此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力，本题的关键规律是：（2n+1）²-（2n-1）²=8n．