题目内容

2．我们知道，如果两个三角形全等，则它们面积相等，而两个不全等的三角形，在某些情况下，可通过证明等底等高来说明它们的面积相等．已知△ABC与△DEC是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE．
（1）如图1，当∠BCE=90°时，求证：S△ACD=S△BCE；
（2）如图2，当0°＜∠BCE＜90°时，上述结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
（3）如图3，在（2）的基础上，作CF⊥BE，延长FC交AD于点G，求证：点G为AD中点．

分析 （1）根据△ABC与△DEC是等腰直角三角形，得到AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE由∠BCE=90°，证得∠ACE=∠BCE，推出△ACD≌△BCE，从而证得结论S△ACE=S△BCE；
（2）作AG垂直DC的延长线于点G，作BH⊥CE，垂足为H，由于∠ACB=∠GCE=90°，得到∠ACG=∠BCH，推出△ACG≌△BCH，得出AG=BH，由于CD=CE，于是得到结果即S△ACE=S△BCE；
（3）作AM垂直CG的延长线于点M，作DN⊥CG，垂足为N，证得△ACM≌△CBF，得到AM=CF，同理可证△DCN≌△CEF，得到DN=CF，AM=DN，推出△AMG≌△DNG，得到AG=DG，即G为AD中点．

解答 证明：（1）∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE
∵∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴S△ACE=S△BCE；

（2）作AG垂直DC的延长线于点G，作BH⊥CE，垂足为H，
∵∠ACB=∠GCE=90°，
∴∠ACG=∠BCH，
在△ACG与△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGC=∠BHC}\\{∠ACG=∠BCH}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BCH（AAS）
∴AG=BH
∵CD=CE
∴$\frac{1}{2}$CD•AG=$\frac{1}{2}$CE•BH，
即S△ACD=S△BCE；

（3）作AM垂直CG的延长线于点M，作DN⊥CG，垂足为N，
∴∠ACB=90，∠BFC=90°，
∴∠ACM+∠BCF=90°，∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ACM=∠CBF，
在△ACM与△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMC=∠CFB}\\{∠ACM=∠CBF}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△CBF（AAS），
∴AM=CF，
同理可证△DCN≌△CEF，
∴DN=CF，
∴AM=DN，
又∵∠AMG=∠DNG，
∴∠AGM=∠DGN，
在△AMG与△DNG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMG=∠DNG}\\{∠AGM=∠DNG}\\{AM=DN}\end{array}\right.$，
∴△AMG≌△DNG（AAS），
∴AG=DG，
即G为AD中点，

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．

练习册系列答案
相关题目
12．已知方程组$\left\{\begin{array}{l}{5x+y=3}\\{ax+5y=4}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=5}\\{5x+by=1}\end{array}\right.$有相同的解，则a，b的值为（　　）
A．$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$B．$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=-6}\end{array}\right.$C．$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=2}\end{array}\right.$D．$\left\{\begin{array}{l}{a=14}\\{b=2}\end{array}\right.$
13．下列事件中是随机事件的是（　　）
A．测量某天的最低气温，结果是-150℃
B．三角形内角和等于180°
C．随意翻一本书的页码，这页的页码是奇数
D．通常加热到100℃时，水沸腾
10．下列分解因式正确的是（　　）
A．x3-x=x（x2-1）B．x2+y2=（x+y）（x-y）C．（a+4）（a-4）=a2-16D．m2+m+$\frac{1}{4}$=（m+$\frac{1}{2}$）2
17．当a=-7时，关于x的方程$\frac{2ax+4}{a-x}$=$\frac{5}{4}$的解是1．
7．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE．
（1）△ABD与△AEC全等吗？请说明理由；
（2）若∠ADB=100°，求∠ACE的度数．
14．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ=NQ，求证：HN=PM．
11．如图，AD是△ABC的高．在AD上取点E，使DE=BD，CE=AB，连接BE
（1）求证：AD=CD；
（2）AE=1，CE=5，求tan∠ACE的值．
12．如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△DEF平移到△ABC的位置，下列平移方法正确的是（　　）
A．先向左平移5个单位，再向下平移2个单位
B．先向右平移5个单位，再向下平移2个单位
C．先向左平移5个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移5个单位，再向上平移2个单位

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网