Question

17．如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且点C为弧BE的中点，连接AE并延长交BC延长线于点D．
（1）判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）过点C作CM⊥AD，垂足为点F，如图2．
①求证：CF是⊙O的切线；
②若⊙O的半径为3，DF=1，求sinB的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接AC，由AB是⊙O的直径，得到AC⊥BD，根据$\widehat{BC}$=$\widehat{CE}$，得到∠BAC=∠DAC，求得AB=AD；
（2）如图2，连接AC，OC，证明过半径的外端点垂直于这条半径的直线是圆的切线；
（3）由相似三角形求得BC，根据勾股定理得到AC，求得∠B的正弦．

解答  解：（1）如图1，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BD，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{CE}$，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形；

（2）如图2，连接AC，OC，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠1，
∴∠2=∠3，
∵CF⊥AD，
∴∠AFC=90°，
∴∠2+∠ACF=90°
∴∠3+∠ACF=90°
∴AC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；

（3）∵∠ACB=∠CFD=90°，
∠B=∠D，
∴△ABC∽△CDF，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BC}{DF}$，
∴$\frac{6}{CD}$=$\frac{BC}{1}$，
∴BC=CD=$\sqrt{6}$，
∴AC=$\sqrt{30}$，
∴sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

点评 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．