Question

12．阅读材料，解答问题：
为了解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，如果我们把x²-1看作一个整体，然后设x²-1=y…①，则原方程可化为y²-5y+4=0，易得y₁=1，y₂=4．
当y=1时，即：x²-1=1，∴x=±$\sqrt{2}$；
当y=4时，即：x²-1=4，∴x=±$\sqrt{5}$，
综上所求，原方程的解为：x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，x₃=$\sqrt{5}$，x₄=-$\sqrt{5}$．我们把以上这种解决问题的方法通常叫换元法，这种方法它体现了数学中复杂问题简单化、把未知化成已知的转化思想；请根据这种思想完成：
（1）直接应用：解方程x⁴-x²-6=0．　
（2）间接应用：已知实数m，n满足：m²-7m+2=0，n²-7n+2=0，则$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$的值是D．
A.$\frac{15}{2}$   B.$\frac{45}{2}$   C.$\frac{15}{2}$或2   D.$\frac{45}{2}$或2
（3）拓展应用：已知实数x，y满足：$\frac{4}{{x}^{4}}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=3，y⁴+y²=3，求$\frac{4}{{x}^{4}}$+y⁴的值．

Answer 1

分析 （1）先设y=x²，则原方程变形为y²-y-6=0，运用因式分解法解得y₁=-2，y₂=3，再把y=-2和3分别代入y=x²得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．
（2）此题应分情况计算．当m=n时，则原式=2；当m≠n时，则m，n是方程x²-7x+2=0的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．
（3）根据题意得到-$\frac{2}{{x}^{2}}$、y²是方程t²+t=3的两个根，通过解该方程可以得到t的值，即可易求-$\frac{2}{{x}^{2}}$、y²的值，然后代入求值．

解答 解：（1）设y=x²，则原方程变为：y²-y-6=0．
分解因式，得（y-3）（y+2）=0，
解得，y₁=-2，y₂=3，
当y=-2时，x²=-2，x²+2=0，△=0-4×2＜0，此方程无实数解；
当y=3时，x²=3，解得x₁=-$\sqrt{3}$，x₂=$\sqrt{3}$，
所以原方程的解为x₁=-$\sqrt{3}$，x₂=$\sqrt{3}$． 

（2）当m=n时，则原式=1+1=2；
当m≠n时，则m，n是方程x²-7x+2=0的两个不相等的根，
∴m+n=7，mn=2．
∴原式=$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$=$\frac{49-4}{2}$=$\frac{45}{2}$．
综上所述，原式的值是2或$\frac{45}{2}$．
故选：D；

（3）由题意：$\frac{4}{{x}^{4}}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=（-$\frac{2}{{x}^{2}}$）²+（-$\frac{2}{{x}^{2}}$）=3，（y²）²+y²=3，
可知：-$\frac{2}{{x}^{2}}$，y²是方程t²+t=3的根，
解得 t=$\frac{-1±\sqrt{13}}{2}$．
∵-$\frac{2}{{x}^{2}}$＜0，y²＞0，
∴-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$，y²=$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，
∴$\frac{4}{{x}^{4}}$+y⁴=（-$\frac{2}{{x}^{2}}$）²+（y²）²=（$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$）²+（$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$）²=7．

点评 本题考查了换元法解一元二次方程：当所给方程的指数较大，又有倍数关系时，可考虑用换元法降次求解．（2）题注意根据m，n满足的方程应考虑两种情况．特别是第二种情况，根据根与系数的关系进行求解．