题目内容
10．
在平面直角坐标系xOy中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y=x上，那么称该菱形为点A，C的“极好菱形”．如图为点A，C的“极好菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3）．
（1）点E（2，1），F（1，3），G（4，0）中，能够成为点M，P的“极好菱形”的顶点的是F、G；
（2）如果四边形MNPQ是点M，P的“极好菱形”．
①当点N的坐标为（3，1）时，求四边形MNPQ的面积；
②当四边形MNPQ的面积为8，且与直线y=x+b有公共点时，写出b的取值范围．
分析 （1）如图1中，观察图象可知：F、G能够成为点M，P的“极好菱形”顶点．
（2）①如图2中，根据已知三点的坐标可得极好菱形为正方形，根据正方形面积公式可得结果；
②根据菱形的性质得：PM⊥QN，且对角线互相平分，由菱形的面积为8，且菱形的面积等于两条对角线积的一半，可得QN的长，证明Q在y轴上，N在x轴上，可得结论．
解答 解：（1）如图1中，观察图象可知：F、G能够成为点M，P的“极好菱形”顶点．
故答案为：F，G；
（2）①如图2，∵M（1，1），P（3，3），N（3，1），
∴MN=2，PN⊥MN，
∵四边形MNPQ是菱形，
∴四边形MNPQ是正方形，
∴S四边形MNPQ=2×2=4；
②如图3，∵点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3），
∴PM=2$\sqrt{2}$，
∵四边形MNPQ的面积为8，
∴S四边形MNPQ=$\frac{1}{2}$PM•QN=8，
即$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{2}$×QN=8，
∴QN=4$\sqrt{2}$，
∵四边形MNPQ是菱形，
∴QN⊥MP，ME=$\sqrt{2}$，EN=2$\sqrt{2}$，
作直线QN，交x轴于A，
∵M（1，1），
∴OM=$\sqrt{2}$，
∴OE=2$\sqrt{2}$，
∵M和P在直线y=x上，
∴∠MOA=45°，
∴△EOA是等腰直角三角形，
∴EA=2$\sqrt{2}$，
∴A与N重合，即N在x轴上，
同理可知：Q在y轴上，且ON=OQ=4，
由题意得：四边形MNPQ与直线y=x+b有公共点时，b的取值范围是-4≤b≤4．
点评 本题是二次函数的综合题，考查了菱形的性质、正方形的判定、点M，P的“极好菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，属于中考创新题目．
练习册系列答案
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