Question

12．在△ABC中，点D在BC的延长线上，E是AC边中点，DE的延长线交AB于点F．
（1）若CD=BC，求$\frac{AF}{BF}$；
（2）$\frac{CD}{BC}=\frac{n}{m}$，求$\frac{AF}{BF}$．

Answer 1

分析 （1）过C作CM∥AB交DF于M，求出DM=MF，证全等求出EF=ME，求出DM=MF=2EF，即可得出答案；
（2）由（1）知，CM=AF，根据CM∥BF，得到△CDM∽△BDF，于是得到$\frac{CM}{BF}=\frac{CD}{BD}$，根据已知条件$\frac{CD}{BC}=\frac{n}{m}$，得到$\frac{CD}{BD}$=$\frac{n}{m+n}$，即可得到结论．

解答 解：（1）过C作CM∥AB交DF于M，
∵CM∥BA，BC=CD，
∴DM=MF，
∵CM∥AB，
∴∠A=∠ECM，
∵E是AC的中点，
∴AE=EC，
在△AFE和△CME中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠MCE}\\{AE=EC}\\{∠AEF=∠MEC}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△CME，
∴CM=AF，
∵CM∥BF，BC=CD，
∴CM=AF=$\frac{1}{2}$BF，
∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{1}{2}$；

（2）由（1）知，CM=AF，
∵CM∥BF，
∴△CDM∽△BDF，
∴$\frac{CM}{BF}=\frac{CD}{BD}$，
∵$\frac{CD}{BC}=\frac{n}{m}$，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{n}{m+n}$，
∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{CM}{BF}$=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{n}{m+n}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握各定理是解题的关键．