Question

20．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB=3，AD=6．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A-B-C-D的路线作匀速运动，当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．
（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；
（2）设P点的运动时间为t（秒），
①当t=8时，求出点P的坐标；
②若△OAP面积为S，试探究点P在运动过程中S与t之间的关系式．

Answer 1

分析 （1）求出AB+BC+CD即可得出结论；
（2）①先判断出先P在边BC上，向右移动的单位数，再确定出矩形向右平移的单位数即可得出结论；
②分三种情况利用三角形的面积公式即可求解．

解答 解：（1）P点从A点运动到D点所需的时间=（3+6+3）÷1=12（秒）

（2）①当t=8时，P点从A点运动到边BC上，
如图，
过点P作PE⊥AD于点E．
此时A点到E点的时间=8秒，AB+BP=8，
∴BP=5，则PE=AB=3，AE=BP=5
∵矩形向右移动2×8=16
∴OE=OA+AE=16+5=21
∴点P的坐标为（21，3）．

②分三种情况：
Ⅰ、0＜t≤3时，点P在AB上运动，此时OA=2t，AP=t
∴s=$\frac{1}{2}$×2t×t=t²
Ⅱ、3＜t≤9时，点P在BC上运动，此时OA=2t
∴s=$\frac{1}{2}$×2t×3=3t
Ⅲ、9＜t＜12时，点P在CD上运动，此时OA=2t，AB+BC+CP=t
∴DP=（AB+BC+CD）-（AB+BC+CP）=12-t
∴s=$\frac{1}{2}$×2t×（12-t）=-t²+12t
综上所述，s与t之间的函数关系式是：s=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}（0＜t≤3）}\\{3t（3＜t≤9）}\\{-{t}^{2}+12t（9＜t≤12）}\end{array}\right.$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平移的特点，三角形的面积公式，解本题的关键是（2）②分类讨论的思想解决问题，是一道比较简单的中考常考题．