Question

15．如图，直线y=$\frac{3}{4}$+3与坐标轴交于A、B两点，⊙O的半径为2，点P是⊙O上动点，△ABP面积的最大值为11cm²．

Answer 1

分析 先求出OA，OB，进而求出AB，再判断出△PAB的AB边上的高最大时必过⊙O的圆心O，最后利用面积求出OC即可得出CP即可．

解答 解：如图，
∵直线y=$\frac{3}{4}$+3与坐标轴交于A、B两点，
∴A（-4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得，AB=5，
∵△PAB中，AB=5是定值，
∴要使△PAB的面积最大，即⊙O上的点到AB的距离最大，
∴过点O作OC⊥AB于C，CO的延长线交⊙O于P，此时S_△PAB的面积最大，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$AB•OC，
∴OC=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∵⊙O的半径为2，
∴CP=OC+OP=$\frac{22}{5}$，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$AB•CP=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{22}{5}$=11．
故答案为11．

点评 此题考查了圆的性质，圆中最大的弦，一次函数图象上点的坐标特征，解本题的关键是确定出三角形PAB的AB边上的高．