Question

8．如图，在平面直角坐标系中，不经过原点的直线与双曲线y=$\frac{k}{x}$相交于点A（m，3），B（-2，n），其中m＞0，n＜0
（1）求m与n之间的数量关系；
（2）若OA=$\frac{\sqrt{10}}{4}$OB，求该双曲线和直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）把点A（m，3），B（-2，n）在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，即可得到结论；
（2）由点A（m，3），B（-2，n），得到OA²=m²+9=$\frac{4}{9}$n²+9，OB²=n²+4，根据已知条件得到$\frac{4}{9}$n²+9=$\frac{5}{8}$（n²+4），求得n=-6，m=4，即可得到结论．

解答 解：（1）∵点A（m，3），B（-2，n）在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴3m=-2n，
∴m=-$\frac{2}{3}$n；
（2）∵点A（m，3），B（-2，n），
∴OA²=m²+9=$\frac{4}{9}$n²+9，OB²=n²+4，
∵OA=$\frac{\sqrt{10}}{4}$OB，
∴OA²=$\frac{5}{8}$OB²，
即：$\frac{4}{9}$n²+9=$\frac{5}{8}$（n²+4），
∴n=±6，
∵n＜0，
∴n=-6，
∴m=4，
∴k=12，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{12}{x}$，
设直线的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=4k+b}\\{-6=-2k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-3．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数的解析式，解题的关键是熟练运用待定系数法，本题属于中等题型．