Question

如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，在射线BC上取一点E，使CE=CD，连接DE．
（1）求∠CED的度数；
（2）用尺规在图中作出一个15°的角，并使它的一边在已知图中的线段或射线上，并简要说明理由；
（3）求S_△ABC：S_△CDE的值．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）先根据等边三角形的性质得出∠ACB=60°，由CE=CD可知∠E=∠EDC，再根据三角形外角的性质即可得出结论；
（2）尺规作图作∠CED的平分线即可；
（3）作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，根据题意求得，CE=

1

2

BC，DN=

1

2

AM，根据三角形的面积公式即可求得；

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形 （已知），
∴∠ACB=60°（等边三角形性质）．
∵CE=CD（已知），
∴∠CED=∠EDC（等边对等角）．
∵∠ACB=∠CED+∠EDC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠CED=30°．
（2）如图所示：∠DEF=15°

∵∠CDE=30°，EF是∠CED的平分线，
∴∠DEF=

1

2

∠CED=15°，
（3）∵BD为等边△ABC中线，CE=CD，
∴BD⊥AC，CE=

1

2

BC，

作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，
∴AM∥DN，
∴DN=

1

2

AM，
∴

S△ABC

S△CDE

=

1 2 BC•AM

1 2 CE•DN

=

1 2 BC•AM

1 2 × 1 2 BC× 1 2 AM

=

4

1

，
∴S_△ABC：S_△CDE=4：1．

点评：本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，以及尺规作图，三角形的面积等，熟练掌握性质和定理是本题的关键．