Question

18．问题背景
两角和（差）的正切公式是数学公式中的重要公式：即：tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$ tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$（α、β的取值应使公式有意义）
（1）直接运用：tan75°=tan（30°+45°）=2+$\sqrt{3}$；tan15°=tan（45°-30°）=2-$\sqrt{3}$
（2）灵活运用：已知tanα，tanβ是方程2x²-3x+1=0的根，求tan（α+β）的值．
（3）拓展运用
①如图1，三个相同的正方形相接，求证：α+β=45°．
②如图2，两座建筑物AB、CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD．

Answer 1

分析 （1）利用tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$，tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$计算即可；
（2）由根与系数的关系得出tanα+tanβ=$\frac{3}{2}$，tanα•tanβ=$\frac{1}{2}$，再代入tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$，计算即可求解；
（3）①利用网格结构，根据正切函数的定义得出tanα=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，然后求出tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=1，即可证明α+β=45°；
②过A作AE⊥CD于E，则ABDE是矩形，DE=AB=9，CE=6．设BD=AE=xm，∠CAE=α，∠DAE=β，根据正切函数的定义得出tanα=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{6}{x}$，tanβ=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{9}{x}$．由tan（α+β）=tan45°=1，得出方程$\frac{\frac{6}{x}+\frac{9}{x}}{1-\frac{6}{x}•\frac{9}{x}}$=1，解方程即可．

解答 （1）解：tan75°=tan（30°+45°）=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}×1}$=$\frac{\sqrt{3}+3}{3-\sqrt{3}}$=2+$\sqrt{3}$；
tan15°=tan（45°-30°）=$\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1×\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．
故答案为2+$\sqrt{3}$；2-$\sqrt{3}$；

（2）解：∵tanα，tanβ是方程2x²-3x+1=0的根，
∴tanα+tanβ=$\frac{3}{2}$，tanα•tanβ=$\frac{1}{2}$，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=3；

（3）①证明：∵tanα=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=$\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}$=1，
∴α+β=45°；

②解：如图，过A作AE⊥CD于E，则ABDE是矩形，DE=AB=9，CE=CD-DE=15-9=6．
设BD=AE=xm，∠CAE=α，∠DAE=β，α+β=∠CAD=45°．
在Rt△CAE中，tanα=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{6}{x}$，
在Rt△DAE中，tanβ=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{9}{x}$．
∵tan（α+β）=tan45°=1，
∴$\frac{\frac{6}{x}+\frac{9}{x}}{1-\frac{6}{x}•\frac{9}{x}}$=1，
整理得x²-15x-54=0，
解得x₁=18，x₂=-3（不合题意舍去），
经检验，x=18是原方程的根，也符合题意．
答：建筑物AB和CD的底部之间的距离BD为18m．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，根与系数的关系，正切函数的定义，理解公式tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$，tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$，并且能够灵活运用是解题的关键．