Question

如图，已知△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，PQ∥AB，P点在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上．
①当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，CP的长等于

 

．
②当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，CP的长等于

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：①由条件可求得△ABC和△PCQ的比，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得CP；
②设PC=x，利用平行线分线段成比例可表示出CQ和PQ，结合条件可求得x．

解答：解：①∵S_△PQC=S_{四边形PABQ}，
∴S_△ABC=2S_△PQC，
∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
∴

CP

AB

=

S△PQC S△ABC

=

1 2

=

2

2

，
即

CP

8

=

2

2

，
∴CP=4

2

，
故答案为：4

2

；
②设CP=x，
∵PQ∥AB，
∴

CP

AC

=

CQ

BC

=

PQ

AB

，即

x

8

=

CQ

6

=

PQ

10

，
∴CQ=

3

4

x，PQ=

5

4

x，
∴△PQC周长=CQ+PQ+CP=3x，
四边形PABQ周长=AP+PQ+BQ+AB=AC-CP+PQ+BC-CQ+AB=8-x+

5

4

x+6-

3

4

x+10=24-

1

2

x，
∴24-

1

2

x=3x，解得x=

48

7

，即CP=

48

7

，
故答案为：

48

7

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例、面积比等于相似比的平方是解题的关键，注意方程思想的应用．