Question

19．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．
（1）求证：∠BME=∠MAB；
（2）如果BE=$\frac{18}{5}$，sin∠BAM=$\frac{3}{5}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由切线的性质得出∠BME+∠OMB=90°，再由直径得出∠AMB=90°，利用同角的余角相等判断出结论；
（2）先在Rt△BEM中，用三角函数求出BM，再在Rt△ABM中，用三角函数和勾股定理计算即可．

解答 （1）如图，连接OM．
∵直线CD切⊙O于点M．
∴∠OMD=90°．
∴∠BME+∠OMB=90°．
∵AB为⊙O的直径．
∴∠AMB=90°．
∴∠AMO+∠OMB=90°．
∴∠BME=∠AMO．
∵OA=OM．
∴∠MAB=∠AMO．
∴∠BME=∠MAB；

（2）由（1）可得，∠BME=∠MAB．
∵sin∠BAM=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠BME=$\frac{3}{5}$
在Rt△BEM中，BE=$\frac{18}{5}$．
∴sin∠BME=$\frac{BE}{BM}$=$\frac{3}{5}$．
∴BM=6，在Rt△ABM中，sin∠BAM=$\frac{3}{5}$．
∴sin∠BAM=$\frac{BM}{AB}$=$\frac{3}{5}$．
∴AB=$\frac{3}{5}$BM=10．
∴⊙O的半径=5

点评 本题主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直径，相似三角形的性质和判定，三角函数，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．