Question

7．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）
（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm²时，裁掉的正方形边长多大？
（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？

Answer 1

分析 （1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为xdm，则题意可列出方程，可求得答案；
（2）由条件可求得x的取值范围，用x可表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案．

解答 解：
（1）如图所示：

设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得（10-2x）（6-2x）=12，
即x²-8x+12=0，解得x=2或x=6（舍去），
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm²；
（2）∵长不大于宽的五倍，
∴10-2x≤5（6-2x），解得0＜x≤2.5，
设总费用为w元，由题意可知
w=0.5×2x（16-4x）+2（10-2x）（6-2x）=4x²-48x+120=4（x-6）²-24，
∵对称轴为x=6，开口向上，
∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，
∴当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元，
答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．

点评 本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，找出题目中的等量关系，表示成二次函数的形式是解题的关键．