Question

已知关于x的方程x²-（2k-3）x+k²+1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）试说明x₁＜0，x₂＜0；
（3）若抛物线y=x²-（2k-3）x+k²+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB-3，求k的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,根的判别式,根与系数的关系

专题：代数综合题

分析：（1）方程有两个不相等的实数根，则判别式大于0，据此即可列不等式求得k的范围；
（2）利用根与系数的关系，说明两根的和小于0，且两根的积大于0即可；
（3）不妨设A（x₁，0），B（x₂，0）．利用x₁，x₂表示出OA、OB的长，则根据根与系数的关系，以及OA+OB=2OA•OB-3即可列方程求解．

解答：解：（1）由题意可知：△=[-（2k-3）]²-4（k²+1）＞0，
即-12k+5＞0                 
∴k＜

5

12

．                             

（2）∵

x1+x2=2k-3＜0 x1x2=k2+1＞0

，
∴x₁＜0，x₂＜0．                        

（3）依题意，不妨设A（x₁，0），B（x₂，0）．
∴OA+OB=|x₁|+|x₂|=-（x₁+x₂）=-（2k-3），
OA•OB=|-x₁||x₂|=x₁x₂=k²+1，
∵OA+OB=2OA•OB-3，
∴-（2k-3）=2（k²+1）-3，
解得k₁=1，k₂=-2．                   
∵k＜

5

12

，
∴k=-2．

点评：本题考查了二次函数与x轴的交点，两交点的横坐标就是另y=0，得到的方程的两根，则满足一元二次方程的根与系数的关系．