Question

图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°．
（1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；
（2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）
（参考数据：

2

≈1.41，

3

≈1.73，

6

≈2.45）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用

专题：

分析：（1）连接DE．根据菱形的性质和角的和差关系可得∠CDE=∠BED=90°，再根据平行线的判定可得CD，EB的位置关系；
（2）根据菱形的性质可得BE，DE，再根据三角函数可得BD，AD，根据AB=BD+AD，即可求解．

解答：解：（1）猜想CD∥EB．
证明：连接DE．
∵中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成30°的夹角，菱形的锐角为60°
∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°，
∴∠BED=60°÷2×2+30°=90°，
∴∠CDE=∠BED，
∴CD∥EB．

（2）如图2，连接AD、BD．
由（1）知，∠BED=90°，
∵BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD=45°，
同理，∠ADC=45°
又由（1）知，∠CDE=90°，
∴∠ADC+∠CDE+∠EDB=180°，
∴点A、D、B三点共线．
BE=2OE=2×10×cos30°=10

3

cm，
同理可得，DE=10

3

cm，
则BD=10

6

cm，
同理可得，AD=10

6

cm，
AB=BD+AD=20

6

≈49cm．
答：A，B两点之间的距离大约为49cm．

点评：此题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质和平行线的判定，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题．