Question

10．如图，MN是⊙O的切线，点A为切点，点P是射线AM上的任意一点．点B是⊙O上的一点，连接PB交⊙O于点C．
（1）若∠BAN=45°，∠BPA=30°，求∠AOC的度数．
（2）若∠BAN=n°（n＜45），∠BPA=m°，试探究∠BOC与n、m之间的关系．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可以得到∠AOC的度数；
（2）根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可以用含m、n的代数式表示出∠BOC，本题得以解决．

解答 解：（1）∵∠BAN=45°，∠BPA=30°，∠BAN=∠BPA+∠ABC，
∴∠ABC=15°，
∴∠AOC=2∠ABC=30°，
即∠AOC的度数是30°；
（2）∵∠BAN=n°（n＜45），∠BPA=m°，∠BAN=∠BPA+∠ABC，
∴∠ABC=n°-m°，
∴∠AOC=2（n°-m°），
∵∠BAN=n°，∠AOB=2∠BAN，
∴∠AOB=2n°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=2n°+2（n°-m°）=4n°-2m°，
即∠BOC与n、m之间的关系是∠BOC=4n°-2m°．

点评 本题考查切线的性质、三角形外角和内角的关系，同弧所对的圆心角和圆心角的关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．