题目内容

如图（1），抛物线y=-
1
4
x2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于E，连接CD，以OE为直径作⊙M，如图（2），试求当CD与⊙M相切时D点的坐标；
②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：代数几何综合题
分析：（1）把A的坐标代入抛物线的解析式，即可得到关于c的方程，求的c的值，则抛物线的解析式即可求解；
（2）①连接MC、MD，证明△COM∽△MED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
②分四边形是?ACGF和四边形是?ACFG两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质即可求解．
解答：解：（1）由已知有：-
1
4
（-2）2+（-2）+c=0，
∴c=3，抛物线的解析式是：y=-
1
4
x2+x+3，

（2）①令D（x，y），（x＞0，y＞0），
则E（x，0），M（
x
2
，0），由（1）知C（0，3），
连接MC、MD，
∵DE、CD与⊙O相切，
∴∠OCM=∠MCD，∠CDM=∠EDM，
∴∠CMD=90°，
∴△COM∽△MED，
∴
CO
ME
=
OM
ED
，
∴
3
x
2
=
x
2
y
，
又∵D点在抛物线上，满足解析式y=-
1
4
x2+x+3，
∴x=
3
2
（1±
5
），
又∵x＞0，
∴x=
3
2
（1+
5
），
∴y=
3
8
（3+
5
），则D点的坐标是：（
3
2
（1+
5
，
3
8
（3+
5
））．
②假设存在满足条件的点G（a，b）．
若构成的四边形是?ACGF，（下图1）则G与C关于直线x=2对称，
∴G点的坐标是：（4，3）；
若构成的四边形是?ACFG，（下图2）则由平行四边形的性质有b=-3，
又∵-
1
4
a2+a+3=-3，
∴a=2±2
7
，
此时G点的坐标是：（2±2
7
，-3）
点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正确求得当CD与⊙M相切时D点的坐标是关键．
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2
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3
1-a
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2
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已知a=
3
-
2
，求
(a-
1
a
)2+4
+
(a+
1
a
)2-4
．

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