Question

6．如图，底角为α的等腰△ABC绕着点B顺时针旋转，使得点A与边BC上的点D重合，点C与点E重合，联结AD、CE．已知tanα=$\frac{3}{4}$，AB=5，则CE=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 如图，作AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，则BH=CH，先利用三角形函数的定义和勾股定理可计算出BH=4，则BC=2BH=8，再根据旋转的性质得∠CBE=α，BE=BC=8，接着在Rt△BEF中利用三角函数的定义可计算出EF和BF，然后在Rt△CEF中利用勾股定理计算CE．

解答 解：如图，作AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，则BH=CH，
在Rt△ABH中，tan∠ABH=tanα=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{3}{4}$，
设AH=3t，则BH=4t，
∴AB=$\sqrt{（3t）^{2}+（4t）^{2}}$=5t，
∴5t=5，解得t=1，
∴BC=2BH=8，
∵等腰△ABC绕着点B顺时针旋转，使得点A与边BC上的点D重合，
∴∠CBE=α，BE=BC=8，
在Rt△BEF中，tan∠EAF=tanα=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{3}{4}$，
设AH=3x，则BH=4x，BE=5x，
∴5x=8，解得x=$\frac{8}{5}$，
∴EF=$\frac{24}{5}$，BF=$\frac{32}{5}$，
∴CF=8-$\frac{32}{5}$=$\frac{8}{5}$，
在Rt△CEF中，CE=$\sqrt{（\frac{8}{5}）^{2}+（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．
故答案为$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键作EF⊥BC构建直角三角形．