Question

如图，E为矩形ABCD边BC上自B向C移动的一个动点，EF⊥AE交CD边于F，联结AF，当△ABE的面积恰好为△ECF和△FDA的面积之和时，量得AE=2，EF=1，那么矩形ABCD的面积为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的性质

专题：

分析：设CF=x，CE=y，证△BAE∽△CEF，求出AB=2y，BE=2x，推出CD=AB=2y，AD=BC=2x+y，DF=2y-x，根据已知面积求出x、y的值，求出AB、BC，即可求出面积．

解答：解：设CF=x，CE=y，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△BAE∽△CEF，
∴

AB

CE

=

BE

CF

=

AE

EF

=

2

1

，
∴AB=2y，BE=2x，
∴CD=AB=2y，AD=BC=2x+y，DF=2y-x，
∵△ABE的面积恰好为△ECF和△FDA的面积之和，
∴

1

2

•2y•2x=

1

2

（2x+y）（2y-x）+

1

2

xy，
∴x=y，
在Rt△FCE中，EF=1，由勾股定理得：x²+x²=1，
解得：x=

2

2

，
即AB=2y=

2

，BC=2x+y=2×

2

2

+

2

2

=

3 2

2

，
∴矩形ABCD的面积是

2

×

3 2

2

=3，
故答案为：3．

点评：本题考查了勾股定理，矩形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出AB、BC的值，题目比较好，难度适中．