Question

如图，在平面直角坐标系中，A（-3，0），B（0，4），现将线段AB向右平移8个单位得到线段DC（D与A对应，C与B对应），若P、Q两点分别在x轴、y轴正半轴上，且OQ=2OP．
（1）当OP=3时，求四边形PQCD的面积；
（2）在线段BC上是否存在点R，使△OPQ≌△BQR？若存在，求出点R坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,平移的性质

专题：

分析：（1）根据点A、B的坐标求出OA、OB再根据平移求出BC、OD的长，再求出OQ，然后根据S_{四边形PQCD}=S_△BCQ+S_梯形PDCQ-S_△POQ列式计算即可得解；
（2）①OQ＜OB时，根据全等三角形对应边相等，分OQ与BQ是对应边和OQ与BR是对应边两种情况，表示出OB，然后求出BR，再写出点R的坐标即可；②OQ＞OB时，根据全等三角形对应边相等可得BQ=OP，求出BQ=OB，再求出BR，然后写出点R的坐标．

解答：解：（1）∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∵线段AB向右平移8个单位得到线段DC，
∴BC=8，OD=AD-OA=8-3=5，
∵OP=3，
∴OQ=2OP=2×3=6，
∴BQ=OQ-OB=6-4=2，
∴S_{四边形PQCD}=S_△BCQ+S_梯形PDCQ-S_△POQ，
=

1

2

×2×8+

1

2

×（5+8）×4-

1

2

×3×6，
=8+26-9，
=25；

（2）①如图1，OQ＜OB时，若OQ与BQ是对应边，
∵OB=OQ+BQ=4，
∴OQ=2，
∵OQ=2OP，
∴OP=

1

2

OQ=

1

2

×2=1，
∴BR=OP=1，
∴点R（1，4）；
若OQ与BR是对应边，则BQ与OP是对应边，
∵OQ=2OP，
∴OB=OQ+BQ=3OP=4，
解得OP=

4

3

，
∴BR=OQ=

8

3

，
∴点R（

8

3

，4）；
②如图2，OQ＞OB时，∵△OPQ≌△BQR，
∴BQ=OP，
∵OQ=2OP，
∴OQ=OB+BQ=2OB=2×4=8，
∴BR=OQ=8，
∴点R（8，4），
综上所述，存在点R（1，4）或（

8

3

，4）或（8，4），使△OPQ≌△BQR．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，平移的性质，三角形的面积，难点在于（2）要分两种情况讨论求解．