Question

16．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象与矩形OABC的边AB、BC分别交于点E、F，若S_矩形OABC=2，则当k=1时，四边形OAEF的面积最大．

Answer 1

分析 设B（a，b），则ab=2，根据反比例函数图象上点的坐标特征得E（$\frac{k}{b}$，b），F（a，$\frac{k}{a}$），所以BE=a-$\frac{k}{b}$，BF=b-$\frac{k}{a}$，根据三角形面积公式和反比例函数系数k的几何意义，利用四边形OAEF的面积=S_矩形ABCO-S_△OCF-S_△BEF得到四边形OAEF的面积=-$\frac{1}{4}$k²+$\frac{1}{2}$k+1，然后根据二次函数的最值问题求解．

解答 解：设B（a，b），则ab=2，E（$\frac{k}{b}$，b），F（a，$\frac{k}{a}$），
∴BE=a-$\frac{k}{b}$，BF=b-$\frac{k}{a}$，
四边形OAEF的面积=S_矩形ABCO-S_△OCF-S_△BEF
=2-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$（a-$\frac{k}{b}$）（b-$\frac{k}{a}$）
=-$\frac{1}{4}$k²+$\frac{1}{2}$k+1，
当k=-$\frac{\frac{1}{2}}{2×（-\frac{1}{4}）}$=1时，四边形OAEF的面积最大．
故答案为1．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不变．