Question

5．如图：E，F，M，N分别是菱形ABCD四边上的中点．
（1）试判断四边形EFMN是什么图形，并证明你的结论；
（2）如果菱形边长为4，∠B=60°，根据（1）试求四边形EFMN的周长；
（3）当四边形ABCD满足什么条件时四边形EFMN是菱形．

Answer 1

分析 （1）首先连接AC、BD．要证四边形EFMN是矩形，只要证得NE⊥NM即可．先由菱形的对角线互相垂直，得AC⊥BD，再结合题意证得四边形EFMN是平行四边形，利用平行四边形的性质，易证NE⊥NM，从而证得四边形EFMN是矩形；
（2）利用菱形的性质结合直角三角形的性质分别得出EF，EN的长即可得出答案；
（3）利用菱形的判定方法结合中点四边形的性质得出答案．

解答 解：（1）四边形EFMN是矩形；
理由：连接AC、BD，
∵AC⊥BD，
∴E，F，M，N分别是菱形ABCD四条边的中点．
∴NE∥BD，MF∥BD．
∴NE∥MF．
同理，得：NM∥AC，EF∥AC．
∴NM∥EF．
∴四边形EFMN是平行四边形．
∵NE∥BD，AC⊥BD，
∴NE⊥AC．
∵NM∥AC，
∴NE⊥NM．
∴平行四边形EFMN是矩形；

（2）∵菱形ABCD边长为4，∠B=60°，
∴AB=BC=4，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=4，
则EF=MN=2，
∵菱形ABCD边长为4，∠B=60°，
∴∠ABD=30°，则AO=2，
∴BO=2$\sqrt{3}$，
∴BD=4$\sqrt{3}$，EN=FM=2$\sqrt{3}$，
∴四边形EFMN的周长为：2+2+2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=4+4$\sqrt{3}$；

（3）当四边形ABCD满足AC=BD时，四边形EFMN是菱形．
理由：E，F，M，N分别是四边形ABCD四条边的中点，
∴NE∥BD，MF∥BD．
∴NE∥MF．
同理，得：NM∥AC，EF∥AC．
∴NM∥EF．
∴四边形EFMN是平行四边形．
∵NE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BD，FE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，
∴EN=EF，
∴平行四边形EFMN是菱形．

点评 此题主要考查了菱形以及矩形的判定方法，熟练掌握中点四边形的性质结合三角形中位线定理得出是解题关键．