Question

1．如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由：

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰三角形的判定，可得三角形三边的关系，分类讨论：PD=CD，根据勾股定理，可得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）²，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；PD=CD时，根据对称性，可得答案．

解答 解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax²+bx+3，
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（2）存在点P，使得△PDC是等腰三角形．
由y=-x²+2x+3，得
D点坐标为（1，4），对称轴为x=1，
①若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为（x，y），
根据勾股定理，得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）²，即y=4-x．
又P点（x，y）在抛物线上，
∴4-x=-x²+2x+3，即x²-3x+1=0，
解得：x=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$＜1 （不合题意，舍去），
所以x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，y=4-x=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，
即点P的坐标为（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）；
②若以CD为一腰，PD=CD，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，
由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为（2，3），
综上所述：符合条件的点P坐标为（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）  或（2，3）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，函数图象的对称性，分类讨论是解题关键，以防遗漏．