Question

1．如图，BD=CD 

（1）如图（1），若AD平分∠BAC的外角．①求证：∠ABD=∠ACD；②试探究∠BAD与∠BCD的关系并证明．
（2）如图（2），若∠ADB=∠ACB，求证：AD平分∠BAC外角．

Answer 1

分析 （1）①作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据角平分线的性质得到DM=DN，证明Rt△BDM≌Rt△CDN，得到答案；
②根据圆内接四边形的性质证明；
（2）根据圆内接四边形的性质得到∠EAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC，根据等腰三角形的性质得到∠DCB=∠DBC，证明结论．

解答 证明：（1）①作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵若AD平分∠BAC的外角，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△BDM和Rt△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DN}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN，
∴∠ABD=∠ACD；
②∵∠ABD=∠ACD，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠BAD+∠BCD=180°；
（2）∵∠ADB=∠ACB，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠EAD=∠DCB，
∠DAC=∠DBC，
∵BD=CD，
∴∠DCB=∠DBC，
∴∠EAD=∠DAC
∴AD平分∠BAC外角．

点评 本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．