Question

1．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则DE的长为$\frac{11}{5}$．

Answer 1

分析 连接BD，由勾股定理先求出BD的长，再判定△ABD∽△BED，根据对应边成比例列出比例式，可求得DE的长．

解答 解：如图，连接BD，
∵AB为⊙O的直径，AB=6，AD=5，
∴∠ADB=90°，
∴BD=$\sqrt{{6}^{2}-{5}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
∵弦AD平分∠BAC，
∴$\widehat{CD}=\widehat{BD}$，
∴∠DBE=∠DAB，
在△ABD和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠EBD}\\{∠ADB=∠BDE}\end{array}\right.$，
∴△ABD∽△BED，
∴$\frac{ED}{BD}=\frac{BD}{AD}$，即BD²=ED×AD，
∴（$\sqrt{11}$）²=ED×5，
解得DE=$\frac{11}{5}$．
故答案为：$\frac{11}{5}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，以及圆周角定理，解答此题的关键是作辅助线，构造出△ABD∽△BED．