Question

12．如图，直线y=x-4与x轴、y轴分别交于M、N两点，⊙O的半径为2，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动时间4-2$\sqrt{2}$或4+2$\sqrt{2}$秒时，直线MN恰好与圆相切．

Answer 1

分析 作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，设直线EF的解析式为y=x+b，由⊙O与直线EF相切结合三角形的面积即可得出关于b的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求b值，从而得出点E的坐标，根据运动的相对性，即可得出结论．

解答 解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．
设直线EF的解析式为y=x+b，即x-y+b=0，
∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为2，
∴$\frac{1}{2}$b²=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{2}$|b|，
解得：b=2$\sqrt{2}$或b=-2$\sqrt{2}$，
∴直线EF的解析式为y=x+2$\sqrt{2}$或y=x-2$\sqrt{2}$，
∴点E的坐标为（2$\sqrt{2}$，0）或（-2$\sqrt{2}$，0）．
令y=x-4中y=0，则x=4，
∴点M（4，0）．
∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，
∴移动的时间为4-2$\sqrt{2}$秒或4+2$\sqrt{2}$秒．
故答案为：4-2$\sqrt{2}$或4+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图象上点的坐标特征以及平移的性质，解题的关键是求出点E、M的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用运动的相对性变移圆为移直线，降低了解题的难度．