Question

9．如图，已知⊙O的半径为6，M是⊙O外一点，且OM=12，过M的直线与⊙O交于A、B，点A、B关于OM的对称点分别为C、D，AD与BC交于点P，则OP的长为（　　）

• A． 4
• B． 3.5
• C． 3
• D． 2.5

Answer 1

分析 如图所示，连接AC，MO交于点N，连接OA，OC，根据对称性得到MN⊥AC且AN=CN，根据等腰三角形的性质得到∠APN=∠CPN=∠BPM，根据垂径定理得到∠AON=∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOC，由圆周角得到∠AON=∠ABC，推出△AOP∽△MOA，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．

解答 解：如图所示，连接AC，与MO交于点N，连接OA，OC，
根据对称性可知：MN⊥AC且AN=CN，
∴点P在MN上；则AP=CP，
∴∠APN=∠CPN，∴∠BPM=∠APO，
根据垂径定理知：∠AON=∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOC，
又∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC（同弧圆周角是圆心角的一半），
∴∠AON=∠ABC，
∵∠AON=180°-（∠OAM+∠AMO），∠ABC=180°-（∠BPM+∠AMO），
∴∠OAM=∠BPM，∴∠OAM=∠APO．又∠AOP=∠MOA，
∵△AOP∽△MOA，
∴$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OA}{OM}$；即$\frac{OP}{6}$=$\frac{6}{12}$，
解得：OP=3．
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．