Question

14．已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为$\widehat{AC}$上任意一点，E为弦BD上一点，且 BE=AD．
（1）试判断△CDE的形状，并加以证明．
（2）若∠ABD=15°，AO=4，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由条件可证明△ADC≌△BEC，则可得到CD=CE，结合AB为直径可证明∠DCE=90°，可判断△CDE为等腰直角三角形；
（2）由条件可证明△COD为等边三角形，则可求得CD=4，利用勾股定理可求得DE的长．

解答 解：
（1）△CDE为等腰直角三角形，
证明如下：
如图1，连接AC、BC，

则∠DAC=∠DBC，
∵AB为直径，CO⊥AB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC，
在△ADC和△BEC中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE}\\{∠DAC=∠EBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴CD=CE，∠DCA=∠BCE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠DCA+∠ACE=90°，即∠DCE=90°，
∴△CDE为等腰直角三角形；
（2）如图2，连接OD，

则∠AOD=2∠ABD=2×15°=30°，
∵∠AOC=90°，
∴∠DOC=60°，且OD=OC=OA=4，
∴△OCD为等边三角形，
∴CD=CE=OA=4，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解题的关键，在（2）中证明△OCD为等边三角形是解题的关键．