阅读下列材料:通过小学的学习我们知道.分数可分为“真分数和“假分数 .而假分数都可化为带分数.如:$\frac{8}{3}$=$\frac{6+2}{3}$=2+$\frac{2}{3}$=2$\frac{2}{3}$我们定义:在分式中.对于只含有一个字母的分式.当分子的次数大于或等于分母的次数时.我们称之为“假分式 ,当分子的次数小于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：$\frac{8}{3}$=$\frac{6+2}{3}$=2+$\frac{2}{3}$=2$\frac{2}{3}$
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如$\frac{x-1}{x+1}$，$\frac{{x}^{2}}{x-1}$这样的分式就是假分式；再如：$\frac{3}{x+1}$，$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：$\frac{x-1}{x+1}=\frac{（x+1）-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$；
再如：$\frac{{x}^{2}}{x-1}=\frac{{x}^{2}-1+1}{x-1}=\frac{（x+1）（x-1）+1}{x-1}$=x+1+$\frac{1}{x-1}$
解决下列问题：
（1）分式$\frac{2}{x}$是真分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式$\frac{x-1}{x+2}$化为带分式的形式为1-$\frac{3}{x+2}$；
（3）把分式$\frac{2x-1}{x+1}$化为带分式；如果$\frac{2x-1}{x+1}$的值为整数，求x的整数值．

分析（1）根据真分式的定义即可判断；
（2）根据例题把分式的分子化成x+2的形式，然后逆用同分母的分式的加法法则求解；
（3）分式$\frac{2x-1}{x+1}$化为带分式，把分子化成2（x+1）-3的形式，然后逆用同分母的分式的加法法则化成带分式；
$\frac{2x-1}{x+1}$的值为整数，则$\frac{3}{x+1}$的值一定是整数，则x+1一定是3的约数，从而求得x的值．

解答解：（1）$\frac{2}{x}$是真分式，故答案是：真；
（2）$\frac{x-1}{x+2}$=$\frac{x+2-3}{x+2}$=1-$\frac{3}{x+2}$．
故答案是：1-$\frac{3}{x+2}$；
（3）$\frac{2x-1}{x+1}$=$\frac{2x+2-3}{x+1}$=$\frac{2（x+1）-3}{x+1}$=2-$\frac{3}{x+1}$；
∵$\frac{2x-1}{x+1}$的值为整数，且x为整数；
∴x+1为3的约数，
∴x+1的值为1或-1或3或-3；
∴x的值为0或-2或2或-4．

点评本题考查了分式的混合运算，正确对分式的分母进行变形，逆用同分母的分式的加法法则是关键．