Question

11．已知直角三角形ABC中，点D为斜边BC的中点，AC=4，BC=8，直角EDF的两边分别与直线AC，直线AB交于点E和点F，BF=7，则AE的长为7$\sqrt{3}$-4或7$\sqrt{3}$+4．

Answer 1

分析 根据勾股定理得到AB=4$\sqrt{3}$，下面分两种情况讨论：①F点在B点左侧时，②F点在B点右侧：过D作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G，则四边形AHDG是矩形，求得DH=AG，DG=AH，根据三角形的中位线的性质得到DH=AG=2，DG=AH=2$\sqrt{3}$，根据相似三角形的性质得到EG=7$\sqrt{3}$-6，于是得到结论．

解答 解：∵AC=4，BC=8，
∴AB=4$\sqrt{3}$，
下面分两种情况讨论：
①如图，F点在B点左侧时，过D作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G，
则四边形AHDG是矩形，
∴DH=AG，DG=AH，
∵点D为斜边BC的中点，
∴DH=AG=2，DG=AH=2$\sqrt{3}$，
∵BF=7，
∴AF=4$\sqrt{3}$-7，
∴FH=7-2$\sqrt{3}$，
∵∠EDF=∠GDH=90°，
∴∠EDG=∠HDF，
∵∠DGE=∠DHF=90°，
∴△DEG∽△DHF，
∴$\frac{GE}{FH}=\frac{DG}{DH}$，
∴EG=7$\sqrt{3}$-6，
∴AE=AG+GE=7$\sqrt{3}$-4．
②F点在B点右侧：
同理可得AE=7$\sqrt{3}$+4．
故答案为：7$\sqrt{3}$-4或7$\sqrt{3}$+4．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形相似是证明角相等，线段成比例的重要方法．