Question

5．已知第一个三角形的面积是1，它的三条中位线组成第1个三角形，第2个三角形的三条中位线又组成第3个三角形，以此类推…第2014个三角形的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{{2}^{4022}}$
• B． $\frac{1}{{2}^{4024}}$
• C． $\frac{1}{{2}^{4026}}$
• D． $\frac{1}{{2}^{4028}}$

Answer 1

分析 由A₂，B₂，C₂分别是△A₁B₁C₁各边的中点，根据三角形中位线的性质和有三组对应边的比相等的两个三角形相似得到△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，所以S_△A2B2C2：S_△A1B1C1=C₂B₂²：C₁B₁²=1：2²，得到即S_△A2B2C2=$\frac{1}{4}$，同理可得S_△A3B3C3=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=（$\frac{1}{4}$）²，以此类推即可得到第n个三角形的面积，据此进行计算即可．

解答 解：∵A₂，B₂，C₂分别是△A₁B₁C₁各边的中点，
∴△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，
∴S_△A2B2C2：S_△A1B1C1=C₂B₂²：C₁B₁²=1：2²，
即S_△A2B2C2=$\frac{1}{4}$，
∴S_△A3B3C3=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=（$\frac{1}{4}$）²，
以此类推，第n个三角形的面积是（$\frac{1}{4}$）^n-1=（$\frac{1}{2}$）^2n-2，
∴第2014个三角形的面积为（$\frac{1}{2}$）^2×2014-2=$\frac{1}{{2}^{4026}}$．
故选：C．

点评 本题考查了三角形中位线定理以及三角形相似的性质的运用，解题的关键是找到问题的一般规律．