Question

10．如图，某海岛上有一观测点P，一天上午9：00观测到一轮船在点M处，M在观测点P南偏东60°方向上，渔船由东向西匀速航行跟踪鱼群，当天上午9：30渔船行至点N处，N在观测点P的东南方向上，已知该渔船的速度为每小时40海里．
（1）求该渔船从M到N的距离是多少海里；
（2）如果此渔船继续沿原方向航行，求离观测点P的最近距离是多少海里．（参考数据：$\sqrt{3}$≈1.7）

Answer 1

分析 （1）根据路程=速度×时间，即可求得该渔船从M到N的距离；
（2）延长MN与过点P的南北方向交于点D，则MN⊥PD于D，在Rt△PMD和Rt△PND中，根据三角函数定义MD，ND就可以PD表示出来，根据MN=20海里，就得到一个关于PD的方程，求得PD即可．

解答 解：（1）该渔船从M到N的距离为：40×$\frac{1}{2}$=20（海里）；

（2）如图，延长MN与过点P的南北方向交于点D，则MN⊥PD于D．
设PD为x，
在Rt△PMD中，
∵∠PDM=90°，∠DPM=60°，∠M=90°-60°=30°，
∴MD=$\sqrt{3}$PD=$\sqrt{3}$x，
在Rt△PND中，
∵∠PDN=90°，∠DPN=45°，
∴DN=PD=x．
∵MD-DN=MN，
∴$\sqrt{3}$x-x=20，
∴x=10（$\sqrt{3}$+1）≈27．
答：离观测点P的最近距离约为27海里．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题，构造直角三角形是解题的前提和关键．