如图1.在等边△ABC的边AC的延长线上取一点E.以CE为边作等边△CDE.使它与△ABC位于直线AE的同侧．(1)同学们对图1进行了热烈的讨论.猜想出如下结论.你认为正确的有①②③④⑤．①△ACD≌△BCE,②△ACP≌△BCQ, ③△DCP≌△ECQ,④∠ARB=60°,⑤△CPQ是等边三角形．(2)当等边△CED绕C点旋转一定角度后中有哪些结论还是成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．如图1，在等边△ABC的边AC的延长线上取一点E，以CE为边作等边△CDE，使它与△ABC位于直线AE的同侧．
（1）同学们对图1进行了热烈的讨论，猜想出如下结论，你认为正确的有①②③④⑤（填序号）．
①△ACD≌△BCE；②△ACP≌△BCQ； ③△DCP≌△ECQ；④∠ARB=60°；⑤△CPQ是等边三角形．
（2）当等边△CED绕C点旋转一定角度后（如图2），（1）中有哪些结论还是成立的？并对正确的结论分别予以证明．

分析（1）根据等边三角形的性质得出各角都是60°，各边相等，再利用全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）根据旋转的性质和全等三角形的判定解答即可．

解答解：（1）∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠DAC=∠EBC，
同理证明△ACP≌△BCQ；△DCP≌△ECQ；
进而得出∠ARB=60°；△CPQ是等边三角形；
所以正确的有①②③④⑤；
故答案为：①②③④⑤；
（2）当等边△CED绕C点旋转一定角度后（1）中结论①、④仍然成立，证明如下：
∵△ABC和△CDE是等边三角形
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BCE=∠CAD，
又∵∠APC=∠BPR，
∴∠ACB=∠ARB，
∵∠ACB=60°，
∴∠ARB=60°．