Question

15．在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C，D都在第一象限．
（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）设点P到x轴的距离为n，试确定n的取值范围，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明四边形AOBP是正方形，根据边长为2的正方形ABCD求OA的长，写出点P的坐标；
（2）作辅助线，根据角平分线性质定理的逆定理，只要再证明PG=PH即可，根据证明△PGB≌△PHA，可以得出结论；
（3）当点B与O重合时，如图3，n最小，当BD∥x轴时，如图1，此时点P到x轴的距离为PA，此时n最大，分别求出即可．

解答 解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BAO=45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OB=OA，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAP=45°，AC⊥BD，
∴∠OAP=45°+45°=90°，∠APB=90°，
∴∠AOB=∠OAP=∠APB=90°，
∴四边形AOBP是矩形，
∵OB=OA，
∴矩形AOBP为正方形，
∵AB=2，
∴OA=AP=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；
（2）如图2，过P作PG⊥y轴于G，PH⊥x轴于H，
∵∠PGO=∠GOH=∠OHP=90°，
∴∠GPH=90°，
∴∠GPB+∠BPH=90°，
∵∠APB=90°，
∴∠BPH+∠APH=90°，
∴∠GPB=∠APH，
∵四边形ABCD为正方形，
∴PB=PA，
∵∠PGB=∠PHA=90°，
∴△PGB≌△PHA，
∴PG=PH，
∴点P都在∠AOB的平分线上，
即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）当点B与O重合时，如图3，
△ABP是等腰直角三角形，
∴PH=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴此时n=1，
当BD∥x轴时，如图1，此时点P到x轴的距离为PA，即n=PA=$\sqrt{2}$，
∴1＜n≤$\sqrt{2}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质和判定、等腰直角三角形、三角形全等的性质和判定，熟练掌握正方形和等腰直角三角形的性质是关键，注意图形与坐标特点．