Question

5．如图，EG是⊙O的直径，EB，GC，BC分别与⊙O相切于点E，G，F，BE=2，CG=3，求tan∠BCO的值．

Answer 1

分析 首先利用勾股定理得出直径的长，再利用相似三角形的判定与性质得出△OBE∽△COG，进而得出答案．

解答 解：过点B作BN⊥GC，
∵EB，GC，BC分别与⊙O相切于点E，G，F，
∴∠GEB=∠EGB=∠BNG=90°，
∴四边形EGNB是矩形，
∵BE=2，CG=3，
∴BF=GN=BE=2，GC=FC=3，
∴BC=5，NC=1，
∴BN=$\sqrt{B{C}^{2}-N{C}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴EG=2$\sqrt{6}$，
∴EO=OG=$\sqrt{6}$，
∵EB，GC，BC分别与⊙O相切于点E，G，F，
∴∠EBO=∠OBC，∠BCO=∠OCG，
∵四边形EGNB是矩形，
∴BE∥GC，
∴∠EBC+∠BCG=180°，
∴∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠BOC=90°，
∴∠EOB+∠GOC=90°，
∵∠EOB+∠EBO=90°，
∴∠EBO=∠COG，
又∵∠OEB=∠OGC=90°，
∴△OBE∽△COG，
∴$\frac{BO}{CO}$=$\frac{EB}{GO}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=tan∠BCO，
故tan∠BCO=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，正确得出△OBE∽△COG是解题关键．