Question

3．如图，Rt△AOB的顶点O与原点重合，直角顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（4，3），直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴、y轴分别交于点D、E，交OB于点F．
（1）写出图中的全等三角形及理由；
（2）求OF的长．

Answer 1

分析 （1）先求出D、E两点的坐标，进而可得出OD、OE的长，再由B点坐标可得出OA，AB的长，由此可得出结论；
（2）先根据全等三角形的性质得出∠AOB=∠OED，再由余角的定义得出OF⊥ED，由勾股定理得出ED的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）△AOB≌△OED．
理由：∵y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（3，0），E（0，4），
∴OD=3，OE=4．
∵B（4，3），
∴OA=4，AB=3．
在△AOB与△OED中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=OD}\\{∠OAB=∠DOE=90°}\\{OA=OE}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△OED（SAS）；

（2）∵△AOB≌△OED，
∴∠AOB=∠OED．
∵∠AOB+∠EOF=90°，
∴∠OED+∠EOF=90°，
∴∠OFE=90°，
∴OF⊥ED．
在Rt△ODE中，ED=$\sqrt{O{E}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵S_△ODE=$\frac{1}{2}$OD•OE=$\frac{1}{2}$DE•OF=6，
∴OF=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．