Question

18．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）首先依据平行线的性质证明∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后结合角平分线的定义可证明∠B=∠C，故此可证明△ABC为等腰三角形；
（2）首先证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BC的长，于是可求得△ABC的周长．

解答 证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE．
∴∠B=∠C．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，
∴AF=CF．
在△AFE和△CFG中$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠CAE}\\{AF=FC}\\{∠AFE=∠GFC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CFG．
∴AE=GC=8．
∵GC=2BG，
∴BG=4．
∴BC=12．
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10+10+12=32．

点评 本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键．