Question

14．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且点B（-$\sqrt{3}$，0），C（0，1），矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax²+bx+c过点A，E，D．
（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，请求出点P，点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）连接AO，根据锐角三角函数的定义得出∠AOB=30°．再由∠AOE=60°可得出∠BOE=∠AOB=90°．根据点B在x轴上即可得出结论；
（2）过点D作DM⊥x轴于点M，由直角三角形的性质得出DM，OM的长，再根据点D在第一象限得出D点坐标，由（1）知OE=AO=2，点E在y轴正半轴上故可得出E，A的坐标，再把点A、E、D的坐标代入抛物线的表达式，求出a、b、c的值即可得出结论；
（3）根据矩形ABOC的面积可得出以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积，由题意可知OB为此平行四边形一边，故可得出OB边上的高，设点P的坐标为（m，2）代入抛物线的解析式即可得出m的值，再由平行四边形的对边平行且相等即可得出结论．

解答 解：（1）点E在y轴上．理由如下：
连接AO，如图所示，在Rt△ABO中，
∵AB=1，BO=$\sqrt{3}$，
∴AO=2，
∴sin∠AOB=$\frac{1}{2}$，
∴∠AOB=30°．
∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=∠AOB+∠AOE=30°+60°=90°．
∵点B在x轴上，
∴点E在y轴上．

（2）过点D作DM⊥x轴于点M，
∵OD=1，∠DOM=30°，
∴在Rt△DOM中，DM=$\frac{1}{2}$，OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵点D在第一象限，
∴D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
∵由（1）知OE=AO=2，点E在y轴正半轴上，
∴E（0，2），A（-$\sqrt{3}$，1）．
∵抛物线y=ax²+bx+c过点E，
∴c=2，
∵A（-$\sqrt{3}$，1），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}3a-\sqrt{3}b+2=1\\ \frac{3}{4}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b+2=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{8}{9}\\ b=-\frac{5\sqrt{3}}{9}\end{array}\right.$．
∴所求抛物线线的表达式为y=-$\frac{8}{9}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{9}$x+2．

（3）∵矩形ABOC的面积=AB•OB=$\sqrt{3}$，
∴以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为2$\sqrt{3}$．
∵由题意可知OB为此平行四边形一边，OB=$\sqrt{3}$，
∴OB边上的高为2，
依题意设点P的坐标为（m，2），
∵点P在抛物线y=-$\frac{8}{9}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{9}$x+2上，
∴-$\frac{8}{9}$m²-$\frac{5\sqrt{3}}{9}$m+2=2，解得，m₁=0，m₂=-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，
∴P₁（0，2），P₂（-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，2），
∵以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴PQ∥OB，PQ=OB=$\sqrt{3}$，
∴当点P₁的坐标为（0，2）时，点Q的坐标分别为Q₁（-$\sqrt{3}$，2），Q₂（$\sqrt{3}$，2）；
当点P₂的坐标为（-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，2）时，点Q的坐标分别为Q₃（-$\frac{13\sqrt{3}}{8}$，2），Q₄（$\frac{13\sqrt{3}}{8}$，2）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到利用待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．