Question

2．如图，抛物线y=-x²+tx+2t²（t＞0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，抛物线顶点为G．
（1）用含t的代数式表示A，B，G的坐标．
（2）在抛物线上有一点C，位于B，G之间（不与B，G重合），D是OC的中点（O为坐标原点），连接BD并延长，交AC于点E，若C，A两点到y轴距离相等，且CE=$\frac{2}{3}$AE，S_△CED=$\frac{8}{5}$，求抛物线和直线BE的解析式．

Answer 1

分析 （1）先对抛物线解析式化为两个因式相乘的形式，根据抛物线y=-x²+tx+2t²（t＞0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，从而确定A、B两点的坐标，又因为抛物线顶点为G，点G的横坐标为A、B两点的横坐标和的一半，再将点G的横坐标代入抛物线解析式求出点G的纵坐标，从而确定点G的坐标．
（2）根据题目中的信息画出相应的图形，作AC的中点F，连接DF，然后根据第一问得到的A、B、G三点的坐标和第二问中的信息求出相应的各点的坐标，再根据△CED的面积，写出相应的关系式，从而求得t的值，进而可以求得抛物线解析式和直线BE的解析式．

解答 解：（1）∵y=-x²+tx+2t²=-（x+t）（x-2t）（t＞0）．
又∵抛物线y=-x²+tx+2t²（t＞0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边．
∴A点的坐标为（-t，0），B点的坐标为（2t，0）．
∵抛物线顶点为G，抛物线y=-x²+tx+2t²．
∴点G的横坐标为：$\frac{-t+2t}{2}=\frac{t}{2}$．
将x=$\frac{t}{2}$代入y=-x²+tx+2t²，得
y=$\frac{9{t}^{2}}{4}$．
∴点G的坐标为（$\frac{t}{2}，\frac{9{t}^{2}}{4}$）．
即：A点的坐标为（-t，0），B点的坐标为（2t，0），G点的坐标为（$\frac{t}{2}，\frac{9{t}^{2}}{4}$）．
（2）如图所示：

∵C，A两点到y轴距离相等，A点的坐标为（-t，0），点C在抛物线y=-x²+tx+2t²上．
∴点C的坐标为（t，2t²）．
又∵CE=$\frac{2}{3}$AE，A点的坐标为（-t，0），C点的坐标为（t，2t²）．
∴点E的坐标为（0.2t，1.2t²）．
作AC的中点F，连接DF．
∵A点的坐标为（-t，0），C点的坐标为（t，2t²）．
∴点F的坐标为（0，t²）．
又∵D是OC的中点，C点的坐标为（t，2t²）．
∴D点的坐标为（$\frac{t}{2}，{t}^{2}$）．
∴DF=$\frac{t}{2}$．
∵S_△CED=$\frac{8}{5}$，S_△CED=S_△CDF-S_△DEF=$\frac{DF×（2{t}^{2}-{t}^{2}）}{2}-\frac{DF×（1.2{t}^{2}-{t}^{2}）}{2}$=$\frac{DF×{t}^{2}}{2}-\frac{DF×0.2{t}^{2}}{2}$=$\frac{t}{2}×0.4{t}^{2}=0.2{t}^{3}$．
∴$0.2{t}^{3}=\frac{8}{5}$．
解得，t=2．
∴y=-x²+2x+8，点B的坐标为（4，0），点E的坐标为（0.4，4.8）．
设过点B、E的直线解析式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{0.4k+b=4.8}\end{array}\right.$
解得，k=$-\frac{4}{3}$，b=$\frac{16}{3}$．
∴过点B、E的直线解析式为y=$-\frac{4}{3}x+\frac{16}{3}$．
即抛物线的解析式为y=-x²+2x+8，直线BE的解析式为y=$-\frac{4}{3}x+\frac{16}{3}$．

点评 本题考查用代数式表示各点的坐标，可以根据题目中的信息，灵活变化，求出相应的各点的坐标，作出相应的图象，进而求得所求问题的答案，关键是根据题目中的信息画出相应的图形，作出合适的辅助线．