Question

2．如图1，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．

（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；
（2）如图3，当$\widehat{DC}$=$\widehat{AC}$时，延长AB至点E，使BE=$\frac{1}{2}$AB，连接DE．
①求证：DE是⊙O的切线；
②求PC的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP，PD的长；
（2）①首先得出△OBD是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；
②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案．

解答 解：（1）如图2，连接OD，
∵OP⊥PD，PD∥AB，
∴∠POB=90°，
∵⊙O的直径AB=12，
∴OB=OD=6，
在Rt△POB中，∠ABC=30°，
∴OP=OB•tan30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
在Rt△POD中，
PD=$\sqrt{O{D}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$；

（2）①证明：如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，
∵$\widehat{DC}$=$\widehat{AC}$，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
∴∠ABD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴OD⊥FB，
∵BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴OB=BE，
∴BF∥ED，
∴∠ODE=∠OFB=90°，
∴DE是⊙O的切线；

②由①知，OD⊥BC，
∴CF=FB=OB•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
在Rt△POD中，OF=DF，
∴PF=$\frac{1}{2}$DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），
∴CP=CF-PF=3$\sqrt{3}$-3．

点评 此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角三角函数关系，正确得出△OBD是等边三角形是解题关键．